Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa

1 Giới thiệu

Một trong những lý do chính cho hiệu suất kém của STARKs là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều khá nhỏ, như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, khi sử dụng mã hóa Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu, nhiều giá trị dư thừa bổ sung sẽ chiếm toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền trở thành chiến lược then chốt.

Kích thước mã của STARKs thế hệ 1 là 252bit, kích thước mã của STARKs thế hệ 2 là 64bit, kích thước mã của STARKs thế hệ 3 là 32bit, nhưng kích thước mã 32bit vẫn còn nhiều không gian lãng phí. So với đó, miền nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có bất kỳ không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ 4.

So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và các phát hiện nghiên cứu gần đây về miền hữu hạn, nghiên cứu về miền nhị phân có thể được truy nguyên về những năm 1980. Hiện nay, miền nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã học, ví dụ điển hình bao gồm:

• Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;

• Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên miền F2128;

• Mã QR, sử dụng mã Reed-Solomon dựa trên F28;

• Giao thức FRI nguyên thủy và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl tiến vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên miền F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.

Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong các phép toán của Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu quả cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, việc kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.

Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết Merkle tree trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.

Binius đã đưa ra một giải pháp sáng tạo để xử lý hai vấn đề này một cách riêng biệt và thể hiện cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: trước tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức bậc nhiều ) thay thế cho đa thức bậc một biến, bằng cách sử dụng giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu thị toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, vì mỗi chiều của siêu khối có độ dài là 2, do đó không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon tiêu chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối là hình vuông ( square ), dựa trên hình vuông đó để thực hiện mở rộng Reed-Solomon. Phương pháp này đã nâng cao hiệu suất mã hóa và hiệu suất tính toán một cách đáng kể mà vẫn đảm bảo tính an toàn.

2 Phân tích nguyên lý

Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:

• Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau thông qua sự tương tác với người xác minh, cho phép người chứng minh gửi dần dần các đa thức, giúp người xác minh có thể xác thực tính đúng đắn của phép tính chỉ bằng cách truy vấn một lượng nhỏ kết quả đánh giá của các đa thức. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi giao thức có cách xử lý các biểu thức đa thức khác nhau, do đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.

• Hệ thống cam kết đa thức ( Polynomial Commitment Scheme, PCS ): Hệ thống cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh liệu một phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có hợp lệ hay không. PCS là một công cụ mật mã, thông qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các hệ thống cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI ( Fast Reed-Solomon IOPP ) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, độ bảo mật và các trường hợp sử dụng khác nhau.

Dựa trên nhu cầu cụ thể, lựa chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong ellip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:

• Halo2: Kết hợp PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với trọng tâm là khả năng mở rộng, cũng như loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.

• Plonky2: Kết hợp PLONK PIOP và FRI PCS, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip được sử dụng, nhằm đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn của những kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu suất xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được độ minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy hay không, cũng như khả năng hỗ trợ các chức năng mở rộng như chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ then chốt để đạt được tính hiệu quả và an toàn của nó. Thứ nhất, cấu trúc số học dựa trên tháp miền nhị phân (towers of binary fields) đã tạo thành nền tảng cho tính toán của nó, có thể thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác của nó (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị của HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán kiểm tra an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu quả xác minh quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng phương pháp chứng minh tìm kiếm Lasso cải tiến, cung cấp tính linh hoạt và an ninh mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó triển khai hệ thống chứng minh hiệu quả trên miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.

2.1 trường hữu hạn: toán học dựa trên towers of binary fields

Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán nhanh chóng và có thể xác minh, chủ yếu do hai yếu tố: tính toán hiệu quả và toán học hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán toán học hiệu quả cao, làm cho nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Ngoài ra, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quy trình toán học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số gọn gàng và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cộng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc điểm phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt phù hợp với các hệ thống chứng minh có thể mở rộng như Binius.

Trong đó, "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản F2, bất kỳ chuỗi k bit nào đều có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp cách biểu diễn tiêu chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể được chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, và các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường dùng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Thực Hiện Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào việc mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.

Như hình 1 đã chỉ ra, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong ngữ cảnh của miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử duy nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc một trăm hai mươi tám phần tử miền F2. Tính linh hoạt của cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), đây là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần chi phí tính toán bổ sung. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khảo sát độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền tháp nhị phân n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).

2.2 PIOP: Phiên bản cải biên sản phẩm HyperPlonk và PermutationCheck------Áp dụng cho trường nhị phân

Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, áp dụng một loạt các cơ chế kiểm tra lõi, được sử dụng để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Các kiểm tra lõi này bao gồm:

1. GateCheck: Xác minh chứng kiến bảo mật ω và đầu vào công khai x có thoả mãn quan hệ tính toán của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.

2. PermutationCheck: Xác minh xem kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên hypercube Boolean có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự sắp xếp giữa các biến đa thức.

3. LookupCheck: Xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo một số giá trị nằm trong phạm vi chỉ định.

4. MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.

5. ProductCheck: Kiểm tra xem việc đánh giá đa thức có lý tại siêu hộp Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.

6. ZeroCheck: Xác thực một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên siêu khối Boolean có bằng không hay không ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân phối điểm không của đa thức.

7. SumCheck: Kiểm tra xem tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức một biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý hàng loạt, thông qua việc giới thiệu số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý hàng loạt cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.

8. BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của nhiều đa thức đa biến, nhằm nâng cao hiệu suất của giao thức.

Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:

• Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U phải khác không trên siêu lập phương, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quá trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.

• Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định U có khác 0 trên siêu khối; Binius đã xử lý đúng vấn đề này, ngay cả khi mẫu số bằng 0, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích nào.

• Kiểm tra hoán vị giữa các cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.

Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt là trong việc xử lý xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ chức năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền móng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.

2.3 PIOP: lập luận dịch chuyển đa tuyến mới------áp dụng cho hypercube boolean

Trong giao thức Binius, việc xây dựng và xử lý đa thức ảo là một trong những công nghệ quan trọng, có khả năng tạo ra và thao tác hiệu quả các đa thức phát sinh từ tay cầm đầu vào hoặc các đa thức ảo khác. Dưới đây là hai phương pháp quan trọng:

• Đóng gói: Phương pháp này tối ưu hóa hoạt động bằng cách gói các phần tử nhỏ hơn ở các vị trí liền kề trong thứ tự từ điển thành các phần tử lớn hơn. Toán tử Pack áp dụng cho các khối có kích thước 2κ và kết hợp chúng thành miền đa chiều.